UM Base

UM Base

The Module of Linear Analysis


Das Modul der linearen Analyse ist in das Basismoduls des Universal Mechanism Programms eingebaut.
Das Modul enthält folgende Funktionen:

  – Suchen von Gleichgewichtspositionen eines Systems;
  – Linearisierung von Bewegungsgleichungen in der Gleichgewichtsposition;
  – Berechnung der Eigenfrequenzen und Animation der Eigenschwingungsform des Systems;
  – Grafische Darstellung des Wurzelortes;
  – Berechnung der kritischen Geschwindigkeit eines Schienenfahrzeugs (vorhanden im UM Loco Modul).

Suchen von Gleichgewichtspositionen

 

Die Gleichgewichtsposition eines mechanischen Systems ist nur für die einfachsten Systeme offensichtlich so z.B. im Falle eines Masse-Feder Systems. Die Gleichgewichtsgleichungen eines komplexen Systems sind nicht linear und müssen numerisch gelöst werden. Die Lösung solcher Gleichungssysteme ist dabei nicht eindeutig und im Allgemeinen sind mehrere  Gleichgewichtspositionen des Systems möglich; einige von ihnen können stabil sein, während andere es nicht sind.

Außerdem können einige berechnete Gleichgewichtspositionen für den Anwender nicht akzeptabel sein. Normalerweise ist es unmöglich festzustellen, ob die gefundene Gleichgewichtsposition eine akzeptable Lösung ist. Der UM Anwender hat die Möglichkeit das System zu einer Position „heranzuführen“, indem er einige der generalisierten Koordinaten des Systems ändert oder ausschließt. Nach der Änderung oder Vorgabe jedes möglichen Parameters in Form eines Identifikators im System kann das Programm eine mehrfache Berechnung der Gleichgewichtspositionen durchführen. Die Abhängigkeit der Koordinaten des Systems im Gleichgewicht vom gewählten Parameter kann grafisch dargestellt werden.



Linearisierung von Bewegungsgleichungen

 

UM kann die Bewegungsgleichungen des Systems in der Nähe beliebig berechneter Gleichgewichtsposition automatisch linearisieren. Die berechneten Masse-, Steifigkeits- und Dämpfungsmatrizen des linearisierten Systems werden zu weiteren Analysen herangezogen. Darüber hinaus können diese Matrizen selbst für den Anwender nützlich sein und in jedes unterstützte externe Programm exportiert werden.



Berechnung von Eigenfrequenzen und Eigenschwingunsformen

 

UM ist in der Lage kleine Bewegung eines Systems nahe der gefundenen Gleichgewichts-position  zu analysieren. Dabei werden die natürlichen Schwingungsformen und entsprechende Eigenvektoren, die für die Animation der Eigenschwingungsform erforderlich sind, berechnet. Anhand der Analyse der Eigenfrequenzen kann festgestellt werden, ob die berechneten Gleichgewichtspositionen stabil oder instabil sind. Bei instabilen Gleichgewichtspositionen werden einige Eigenfrequenzen als imaginäre Zahlen dargestellt. Die Berechnung der Eigenfrequenzen und der entsprechenden Eigenschwingungsformen lässt sich sowohl ohne die Berücksichtigung aller Widerstandkräfte (freie Schwingungen) als auch mit der Berücksichtigung solche Kräfte durchführen.

In den folgenden Animationen sind die ersten sechs Eigenschwingungsmodi eines U-Bahnwagons Modells dargestellt: 

Frequenz - 0,53 Гц Frequenz - 1,26 Гц Frequenz - 1,53 Гц
Frequenz - 1,78 Гц Frequenz - 1,89 Гц Frequenz - 7,45 Гц

 

Grafische Darstellung des Wurzelortes

 

Der Wurzelort hilft dem Anwender die Gleichgewichtsposition des Systems sowie dessen Dämpfungsgrad optisch festzustellen. Der Wurzelort stellt eine Spur der Bewegungsbahn der Eigenwerte des Systems in einer komplexen Ebene dar, die jeder Änderung eines beliebigen Parameters des Systems entspricht.

 

Berechnung der kritischen Geschwindigkeit eines Schienenfahrzeuges

 

Die Berechnung der kritischen Geschwindigkeit eines Schienenfahrzeuges mit Hilfe des Moduls "Lineare Analyse" ist nur in Verbindung mit dem Erwerb des UM Loco Moduls möglich. Sobald ein Schienenfahrzeug eine kritische Geschwindigkeit überschreitet, wird seine Bewegung instabil. Zur Berechnung der kritischen Geschwindigkeit werden die Gleichungen unter Berücksichtigung spezifischer Außenkräfte für Schienenfahrzeuge, interaktive Kräfte zwischen Schienengleis und Eisenbahnrad, linearisiert.